Formules d'addition

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Formules d'addition

Soit  a et  b des réels :

  • cos(a+b)=cos(a)cos(b)sin(a)sin(b)
  • sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)
  • cos(ab)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
  • sin(ab)=sin(a)cos(b)cos(a)sin(b)

Démonstration
On considère les points A et B du cercle trigonométrique associés aux réels a et b  respectivement.

On va calculer le produit scalaire OAOB de deux manières différentes, la première à partir de la définition du produit scalaire faisant intervenir l'angle AOB^ , la seconde avec l'expression des coordonnées dans un repère orthonormé.

  • Les points  A et  B appartiennent au cercle trigonométrique, qui est de centre  O et de rayon 1. Ainsi, OA=OB=1 .

L'angle (OB,OA) est la longueur de l'arc de cercle entre les points B(b) et A(a) . Cet angle vaut donc ab .

Par définition du produit scalaire, OAOB=OA×OB×cos(ab)=1×1×cos(ab) .
donc OAOB=cos(ab) .

  • Dans le repère  (O;u,v) , on a : OA(xAx0yAy0)=OA(cos(a)0sin(a)0)=OA(cos(a)sin(a)) et de même : OB(cos(b)sin(b)) .

D'après la formule du produit scalaire dans un repère orthonormé,
OAOB=xOAxOB+yOAyOB=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) .
On a donc exprimé le produit scalaire OAOB de deux manières différentes. L'égalité issue des deux expressions obtenues donne : cos(ab)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) .

En utilisant cette formule d'addition, on obtient alors :

cos(a+b)=cos(a(b))=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)=cos(a)cos(b)sin(a)sin(b)

car, comme les points du cercle trigonométrique associés respectivement à b et -b sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, on a cos(b)=cos(b)  et sin(b)=sin(b) .

On a de plus  sin(a+b)=cos(π2(a+b))=cos((π2a)b)   car les points du cercle trigonométrique associés respectivement à a+b et π2(a+b) sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=x .

D'après la première formule d'addition obtenue, on en déduit que :
sin(a+b)=cos(π2a)cos(b)+sin(π2a)sin(b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)  car les points du cercle trigonométrique associés respectivement à  a et π2a  sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=x .

En utilisant la formule d'addition précédente, on obtient : sin(ab)=sin(a+(b))=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)=sin(a)cos(b)cos(a)sin(b)  car, comme les points du cercle trigonométrique associés respectivement à  b et b sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, on a cos(b)=cos(b) et sin(b)=sin(b) .

Source : https://lesmanuelslibres.region-academique-idf.fr
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