Formules d'addition

Formules d'addition

Soit  $a$ et  $b$ des réels :

• $\cos (a+b)=\cos (a)\cos (b)-\sin (a)\sin (b)$
  
• $\sin (a+b)=\sin (a)\cos (b)+\cos (a)\sin (b)$
  
• $\cos (a-b)=\cos (a)\cos (b)+\sin (a)\sin (b)$
• $\sin (a-b)=\sin (a)\cos (b)-\cos (a)\sin (b)$

Démonstration
On considère les points $\text{A}$ et $\text{B}$ du cercle trigonométrique associés aux réels $a$ et $b$  respectivement.

On va calculer le produit scalaire $\overrightarrow{\text{O}\text{A}}\cdot \overrightarrow{\text{O}\text{B}}$ de deux manières différentes, la première à partir de la définition du produit scalaire faisant intervenir l'angle $\widehat{\text{A}\text{O}\text{B}}$ , la seconde avec l'expression des coordonnées dans un repère orthonormé.

• Les points  $\text{A}$ et  $\text{B}$ appartiennent au cercle trigonométrique, qui est de centre  $\text{O}$ et de rayon 1. Ainsi, $\text{O}\text{A}=\text{O}\text{B}=1$ .
  

L'angle $(\overrightarrow{\text{O}\text{B}},\overrightarrow{\text{O}\text{A}})$ est la longueur de l'arc de cercle entre les points $\text{B}(b)$ et $\text{A}(a)$ . Cet angle vaut donc $a-b$ .

Par définition du produit scalaire, $\overrightarrow{\text{O}\text{A}}\cdot \overrightarrow{\text{O}\text{B}}=\text{O}\text{A}\times \text{O}\text{B}\times \cos (a-b)=1\times 1\times \cos (a-b)$ .
donc $\overrightarrow{\text{O}\text{A}}\cdot \overrightarrow{\text{O}\text{B}}=\cos (a-b)$ .

• Dans le repère  $(\text{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ , on a : $\overrightarrow{\text{O}\text{A}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{x_{\text{A}}-x_0}{y_{\text{A}}-y_0})=\overrightarrow{\text{O}\text{A}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\cos (a)-0}{\sin (a)-0})=\overrightarrow{\text{O}\text{A}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\cos (a)}{\sin (a)})$ ,  et de même : $\overrightarrow{\text{O}\text{B}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\cos (b)}{\sin (b)})$ .

D'après la formule du produit scalaire dans un repère orthonormé,
$\overrightarrow{\text{O}\text{A}}\cdot \overrightarrow{\text{O}\text{B}}=x_{\overrightarrow{\text{O}\text{A}}}{x}_{\overrightarrow{\text{O}\text{B}}}+y_{\overrightarrow{\text{O}\text{A}}}{y}_{\overrightarrow{\text{O}\text{B}}}=\cos (a)\cos (b)+\sin (a)\sin (b)$ .
On a donc exprimé le produit scalaire $\overrightarrow{\text{O}\text{A}}\cdot \overrightarrow{\text{O}\text{B}}$ de deux manières différentes. L'égalité issue des deux expressions obtenues donne : $\cos (a-b)=\cos (a)\cos (b)+\sin (a)\sin (b)$ .

En utilisant cette formule d'addition, on obtient alors :

$\cos (a+b)=\cos (a-(-b))=\cos (a)\cos (-b)+\sin (a)\sin (-b)=\cos (a)\cos (b)-\sin (a)\sin (b)$

car, comme les points du cercle trigonométrique associés respectivement à b et -b sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, on a $\cos (-b)=\cos (b)$  et $\sin (-b)=-\sin (b)$ .

On a de plus  $\sin (a+b)=\cos (\frac{\pi }{2}-(a+b))=\cos ((\frac{\pi }{2}-a)-b)$   car les points du cercle trigonométrique associés respectivement à $a+b$ et ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-(a+b)$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$ .

D'après la première formule d'addition obtenue, on en déduit que :
$\sin (a+b)=\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-a)\cos (b)+\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-a)\sin (b)=\sin (a)\cos (b)+\cos (a)\sin (b)$  car les points du cercle trigonométrique associés respectivement à  $a$ et ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-a$  sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$ .

En utilisant la formule d'addition précédente, on obtient : $\sin (a-b)=\sin (a+(-b))=\sin (a)\cos (-b)+\cos (a)\sin (-b)=\sin (a)\cos (b)-\cos (a)\sin (b)$  car, comme les points du cercle trigonométrique associés respectivement à  $b$ et $-b$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, on a $\cos (-b)=\cos (b)$ et $\sin (-b)=-\sin (b)$ .