Formules d'addition

Formules d'addition

Soit  `a` et  `b` des réels :

• `\cos(a+b) =\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)`
  
• \(\sin(a+b) =\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)\)
  
• \(\cos(a-b) =\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)\)
• \(\sin(a-b) =\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)\)

Démonstration
On considère les points \(\text A\) et \(\text B\) du cercle trigonométrique associés aux réels \(a\) et \(b\)  respectivement.

On va calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{\text O\text A}\cdot\overrightarrow{\text O\text B}\) de deux manières différentes, la première à partir de la définition du produit scalaire faisant intervenir l'angle \(\widehat {\text A\text O\text B}\) , la seconde avec l'expression des coordonnées dans un repère orthonormé.

• Les points  \(\text A\) et  \(\text B\) appartiennent au cercle trigonométrique, qui est de centre  \(\text O\) et de rayon 1. Ainsi, \(\text O\text A=\text O\text B=1\) .
  

L'angle \((\overrightarrow{\text O\text B},\overrightarrow{\text O\text A})\) est la longueur de l'arc de cercle entre les points \(\text B(b)\) et \(\text A(a)\) . Cet angle vaut donc \(a-b\) .

Par définition du produit scalaire, \(\overrightarrow{\text O\text A}\cdot\overrightarrow{\text O\text B}=\text O\text A \times \text O\text B \times \cos(a-b)=1 \times 1 \times \cos(a-b)\) .
donc \(\overrightarrow{\text O\text A}\cdot\overrightarrow{\text O\text B}=\cos(a-b)\) .

• Dans le repère  \((\text O;\vec{u},\vec{v})\) , on a : \(\overrightarrow{\text O\text A}\binom{x_\text A-x_0}{y_\text A-y_0}=\overrightarrow{\text O\text A}\binom{\cos(a)-0}{\sin(a)-0}=\overrightarrow{\text O\text A}\binom{\cos(a)}{\sin(a)}\) ,  et de même : \(\overrightarrow{\text O\text B}\binom{\cos(b)}{\sin(b)}\) .

D'après la formule du produit scalaire dans un repère orthonormé,
\(\overrightarrow{\text O\text A}\cdot\overrightarrow{\text O\text B}=x_{\overrightarrow{\text O\text A}}x_{\overrightarrow{\text O\text B}}+y_{\overrightarrow{\text O\text A}}y_{\overrightarrow{\text O\text B}}=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)\) .
On a donc exprimé le produit scalaire \(\overrightarrow{\text O\text A}\cdot\overrightarrow{\text O\text B}\) de deux manières différentes. L'égalité issue des deux expressions obtenues donne : \(\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)\) .

En utilisant cette formule d'addition, on obtient alors :

\(\cos(a+b)=\cos(a-(-b))=\cos(a)\cos(-b)+\sin(a)\sin(-b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)\)

car, comme les points du cercle trigonométrique associés respectivement à b et -b sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, on a \(\cos(-b)=\cos(b)\)  et \(\sin(-b)=-\sin(b)\) .

On a de plus  \(\sin(a+b)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-(a+b)\right)=\cos\left(\left(\frac{\pi}{2}-a\right)-b\right)\)   car les points du cercle trigonométrique associés respectivement à \(a+b\) et \(\dfrac{\pi}{2}-(a+b)\) sont symétriques par rapport à la droite d'équation \(y=x\) .

D'après la première formule d'addition obtenue, on en déduit que :
\(\sin(a+b)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)\cos(b)+\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)\sin(b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)\)  car les points du cercle trigonométrique associés respectivement à  \(a\) et \(\dfrac{\pi}{2}-a\)  sont symétriques par rapport à la droite d'équation \(y=x\) .

En utilisant la formule d'addition précédente, on obtient : \(\sin(a-b)=\sin(a+(-b))=\sin(a)\cos(-b)+\cos(a)\sin(-b)=\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)\)  car, comme les points du cercle trigonométrique associés respectivement à  \(b\) et \(-b\) sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, on a \(\cos(-b)=\cos(b)\) et \(\sin(-b)=-\sin(b)\) .